魏晋风流：从刘徽到祖冲之
☆2025年是魏晋数学家刘徽诞辰1800周年，2024—2025年被联合国教科文组织定为“刘徽年”，他是第一个获此殊荣的中国人。
南方周末特约撰稿 蔡天新
责任编辑｜王江涛
当时独绝，莫能对者。——《南史》
赵爽的“勾股圆方图”
公元391年，北非地中海海滨的亚历山大城（今属埃及），由于基督教会的内部矛盾，以及该城教会与罗马教廷之间的冲突，一群基督徒疯狂地烧毁了埃及女王克娄巴特拉先前下令从罗马统帅尤利乌斯·恺撒攻城时被毁的大图书馆里抢救出来的宝藏，托勒密王朝膜拜的另一处藏有大量希腊手稿的西拉比斯神庙也难逃厄运。
那会儿，中国正处于动荡不安的魏晋南北朝时期，准确地说，彼时是在东晋后期，中国历史上第一次衣冠南渡已经结束，首都也早已从洛阳经长安南迁到了建康（南京）。与此同时，为后世津津乐道的“竹林七贤”，出身琅琊世族的“书圣”王羲之和“东山再起”的名将、“淝水之战”东晋总指挥谢安等均已不在人世，但闻名遐迩的“魏晋风度”仍在。
所谓“魏晋风度”，乃魏晋之际的名士风度，亦称魏晋风流。在长期独尊儒学之后，思辨之风再起，名士们崇尚自然，超然物外，率真任性而风流自赏。他们言辞高妙，不问世事，喜好饮酒，以隐逸为乐。尊《周易》《老子》《庄子》为“三玄”，以至于清谈或玄谈成为一种社会风气。
作为士大夫意识形态的一种人格表现，“魏晋风度”成为风靡一时的审美理想。那一年，我国山水诗先驱谢灵运年方六岁，而田园诗鼻祖陶渊明二十六岁，正过着种田读书的生活，尚未出仕。十四年以后，陶渊明辞官还乡，归隐田园，并写出一首首传世之作，成为中国历代文人墨客乃至西方文化名人膜拜效仿的榜样。
▲国家图书馆藏《九章算术》十卷。视觉中国丨图
在这样的社会和人文环境下，中国的数学研究也兴起了论证的热潮，多部学术著作以注释《周髀算经》或《九章算术》的形式出现，实质上是要给出其中一些重要结论的证明。这就像古希腊的城邦米利都，那儿诞生了第一位留名的数学家泰勒斯，在城邦社会特有的唯理主义氛围中，经验的算术和几何法则上升至逻辑结构的数学论证体系。
从现有的资料来看，东吴的赵爽是魏晋时期最早的数学家之一。在他的传本《周髀算经注》卷首，有题“赵君卿注”。书中注者多次自称“爽”，后世学者由此断定注者名“爽”无疑，而“君卿”可能是赵爽的别号。由于这本书中两次提到孙吴颁行的乾象历法，学者因此认定他是三国时期的东吴人。
在赵爽《周髀算经注》第一章附注中，有五百多字的“勾股圆方图说”，并配了六幅插图，其中一幅就是著名的弦图。利用此图和面积的出入相补法，赵爽证明了勾股定理。他这样写道：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。”此处“弦实”是指以弦为边长的正方形的面积。
考虑以直角三角形两条直角边a和b为边的正方形的合并图，其面积为a2+b2。如果将该合并图形所含的两个三角形适当移补，可得出以三角形斜边c为边长的正方形，其面积为c2，由此即可得出勾股定理。严格的证明如下：
在“弦图”内以正方形边长为弦，作四个全等的勾股形（直角三角形），其勾、股、弦分别为a，b，c。赵爽称每个勾股形的面积为“朱实”，每个朱实为ab/2，四个朱实即为2ab；称中间的小正方形面积为“黄实”，黄实为(b-a)2。故而c2=2ab+(b-a)2=a2+b2。
▲勾股圆方图示意图。刘宇宇丨图
在“勾股圆方图”中，赵爽还证明了勾股定理的许多推论，并给出了“日高图说”，用出入相补法证明了《周髀算经》中的日高公式。遗憾的是，赵爽的“日高图”已遗失，1975年，数学家吴文俊依据后人绘制的日高残图和赵爽抽象的文字叙述，成功复原了日高公式的证明，从而开启了他对中国古代数学的研究。2002年，吴文俊出任北京国际数学家大会组委会主席，弦图被用在大会的会徽和海报上。
值得一提的是，在清代学者、浙江学政（后任巡抚）阮元主编的我国第一部科学家传记《畴人传》里，赵爽被收录在后汉（东汉）卷的最后一位（前有王充、张衡、刘洪、蔡邕、郑玄、徐岳等人）。究其原因，可能是赵爽的著作里扼要地总结了东汉时期的算术成就。同样，这也可佐证赵爽所处的时代是接续东汉的魏晋时期。
割圆之术与牟合方盖
与赵爽相比，刘徽的成就可能更大一些。与赵爽一样，刘徽的生卒年正史没有记载，但学界依据著作年代和历史背景推算他大约生于公元225年，并于263年（那年蜀国被魏国灭亡）撰写了《九章算术注》。赵爽和刘徽分别注《周髀算经》和《九章算术》，而通常认为《周髀算经》比《九章算术》较早，这些也似乎说明，刘徽生活的年代可能略晚于赵爽。
之所以可以确定刘徽注《九章算术》的年份，首先是因为他的著作中多次提到“晋武库中有汉时王莽所作铜斛”。这里的斛是古代量器，主要用来称量粮食，有圆柱形，也有方锥形，口小底大，汉时容量为十斗，宋改为五斗。西晋元康五年（295年），武库发生了一场火灾，所藏古物多被损坏或遗失，因此刘徽注书当在此之前，很可能是西晋初年。
其次，《隋书·律历志》曾引用《九章算术》商功一章注解，提到“魏陈留王景元四年刘徽注”。景元是魏元帝曹奂年号，景元四年是263年。陈留王是古代王爵名，263年的陈留王是曹澳。两年后，曹奂被迫禅位给司马炎，曹魏灭亡，西晋建立。曹奂被封陈留王，曹澳降为陈留县公。
《周髀算经》给出了勾股定理和日高公式，日高公式在早期天文学和历法编制中有广泛应用。《九章算术》也有两个亮点，即“盈不足”术和“方程”里的联立方程组解法。前者相当于线性插值法，在中世纪阿拉伯数学家的著作和意大利人斐波那契的《算经》中被誉为“契丹（中国）算法”；后者在西方出现较晚，被称为高斯消元法。
刘徽的《九章算术注》除了注《九章算术》每章一卷，还有他自己写的第十章《重差》和附图合卷，共十一卷。初唐以后，第十一卷失传，《重差》分出，与《九章算术注》分别独立成书，流传至今。刘徽的自序讲述了他研习数学的经历。“徽幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。……采其所见，为之作注。”
刘徽还描绘了数学的起源：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变。”包牺即伏羲，相传伏羲依据“河图”和“洛书”在山西洪洞卦地村创设八卦，后由周文王演变成《易经》。刘徽把《九章算术》视为周公礼制的“九数之流”，其渊源上推至八卦。这种数学源于《易经》的史观，对后世影响甚大。
▲刘徽的割圆术示意图。刘宇宇丨图
在注方田时，刘徽引进了割圆术，用以计算圆的周长，由此可导出圆周率的近似计算。虽说《九章算术》给出正确的圆面积公式A=πr2，但由于中国古率为“圆径一而周三”，即取圆周率为3，计算结果比较粗糙。割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逼近圆，刘徽从正六边形出发，将边数逐次翻倍，依次计算出正多边形的周长，他写道：
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
这句话反映出，刘徽已有极限思想。虽说公元前五世纪的希腊数学家安提丰早已发现这一定理，但他并没有用来计算圆周率。刘徽注意到，利用勾股定理，正2n边形边长可由正n边形边长导出。这样一来，计算到第五次时，就得到正192边形边长，由此可得圆周率（徽率）为：π≈157/50=3.14。
这与阿基米德在公元前240年所得的结果和方法基本一致，只不过后者确定了分数的上下界，且利用了圆的外切和内接正多边形，因此只需算到96边。在后世版本的注文中（尚不知是否刘徽所作），则得出了（应算到第九次，即正3072边形的边长）：π≈3927/1250=3.1416。
相比之下，西汉刘歆（？—23）为王莽制造了圆柱形铜斛，其中铭文记载，他取用的圆周率约为3.1547；东汉张衡（78—139）在著作《灵宪》中，取用的圆周率为3.1623；三国东吴王蕃（228—266）在浑仪论中，取3.1556。让人痛心的是，刘歆因为王莽杀其子，企图弑君，事败自杀；而王蕃则因为酒醉失礼，被东吴末代皇帝孙皓当庭斩杀。
在注商功时，刘徽提出了牟合方盖的概念，用以计算球体积。在《九章算术》中，球体积的计算公式V=3πr3/2，结论无疑是错误的。究其原因在于，古人认为球体积是其外切正方体体积的十六分之九。若考虑到圆周率的古率为3，取值偏小，将错就错，误差略微缩小，但仍较大。
刘徽将几何图形分割后，利用出入相补等方法验证了《九章算术》中各种图形面积计算公式的正确性，这与赵爽证明勾股定理一样，开创了中国古代数学史上对命题进行逻辑证明的范例。但刘徽也发现了这种方法在计算球体积时的缺陷，即与平面的情形不同，并非任意两个体积相等的立体图形都可以剖分拼补。
为了绕过这个难点，中外数学家不约而同地借助于无限小的方法，如同阿基米德所做的那样。刘徽采用了极限和不可分量两种无限小技巧，指出《九章算术》中的球体积计算公式有误。刘徽在一个立方体内作两个垂直的内切圆柱，所交的部分刚好把立方体的内切球包含在里面，且与之相切，这便是他所指的牟合方盖。
刘徽发现，球体积与牟合方盖体积之比应该为π/4，到这里，他实际上接近了积分学中以意大利数学家命名的“卡瓦列利原理”，可惜他没有总结出一般的形式，以至于无法计算出牟合方盖的体积，也就没能获得球体积公式。不过，他所用的方法为后来祖冲之父子最终的成功铺平了道路。
《九章算术注》第十章是刘徽的《重差》论文，九道例题中的第一道是有关海岛山峰高度的测量，故而后来单独刊行时改称《海岛算经》。西汉时期，天文学家发现了一种测量太阳高、远的方法，数学家把它称为“重差术”。刘徽创立了重差术的三种新方法，即重表法、连索法和累矩法，此书成为了测量学的典籍。
愿闻显据，以核理实
祖冲之（429—500），字文远，祖籍河北涞水（古代属范阳郡，今属保定市），与北京市的门头沟区和房山区相接。他生长于南朝的政治、经济中心建康。自从317年晋室南迁以来，江南地区的经济迅速发展，水利和农业技术得到改良，牛耕得以普及，出现了一批较为繁荣的城市，建康是其中突出的代表。
祖家是一个官宦人家，祖冲之的曾祖父在东晋时官至侍中、光禄大夫，相当于宰相和国策顾问。祖父和父亲都在南朝做官，祖父是掌管宫室、宗庙、陵寝等土木营建的大匠卿，父亲曾任闲散的官职——奉朝请（古时称春季的朝见为朝，秋季的朝见为请）。这个家族的历代成员，大多对天文历法颇有研究，所谓畴人是也。
相比其前辈，祖冲之担任过的官职较低，却在数学、天文学乃至机械制造方面取得了杰出成就。刘宋时期，他曾担任南徐州（今镇江）的从事史，即州刺史随员，负责督促文书、察举非法。他也曾外放到娄县（今苏州昆山东北）任县令，后来回到建康，掌朝廷礼仪与传达使命的谒者仆射。到萧齐朝，他曾官至四品的长水校尉。
祖冲之曾在著作中自述，自幼“专功数术，搜炼古今”。他把上古时起至他生活年代的各种文献资料搜罗来研究，同时亲自进行精密测量和细心推算。可以说，祖冲之批判地接受前人的学术遗产，敢于怀疑古人的结论，勇于提出自己的见解，这是古往今来一切杰出科学家共有的优良品质。
在数学领域，祖冲之师承的正是比他早两个世纪的刘徽，尤其是割圆术和牟合方盖的方法。祖冲之在学习钻研了刘徽的《九章算术注》后，写成数十篇文章，附缀于刘徽注后，自称“缀术”。他的儿子祖暅也写了五六篇。钱宝琮在《中国数学史》中推测，《缀术》为祖氏父子合著。唐代李淳风将其编入“算书十经”，据说学生要研习四年。
可能由于《缀术》比较难读，到了北宋，它便失传了，1084年所刻算经中没有《缀术》。北宋沈括《梦溪笔谈》称，“北齐祖亘有《缀术》二卷”，他必定没见过《缀术》，因《缀术》不止两卷，且祖暅是南梁人。南宋秦九韶《数书九章》序言中，也说“天象历度谓之缀术”。显然，沈括和秦九韶的所谓“缀术”并非祖氏父子的《缀术》。
幸运的是，《隋书·律历志》有记载：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽。”也就是说，祖冲之的圆周率精确到小数点后7位，即3.1415926<π<3.1415927。
此外，祖冲之还得到约率22/7和密率355/113这两个圆周率，约率由刘宋数学家、天文学家何承天（370—447）率先获得；密率虽只精确到小数点后6位，却同样令人惊叹。约率和密率分别是π按连分数展开的第二项和第四项，而第一项是古率。1913年，日本数学史家三上义夫曾提议称355/113为“祖率”。
14世纪印度数学家马德哈瓦（约1340—约1425）发现了圆周率的无穷级数表示，并准确计算到小数点后11位（也有说13位）。1424年，即马德哈瓦去世前一年，波斯数学家卡西利用余弦函数的半角公式简化了割圆术的计算，将圆周率精确到小数点后17位。而德裔荷兰人奥托（约1550—1605）求得密率，则比祖冲之晚了1000多年。
由于当时只有刘徽割圆术这一种方法，人们猜测祖冲之用的是同样的方法。如果这样的话，他需要算到第12次，即正24576边形边长。至于密率，恐怕是借助了何承天发明的“调日法”。人们推测，祖冲之用“调日法”于约率与古率（或徽率）之间，待求得密率后，再用割圆术加以验证，正如阿基米德同时运用了平衡法和穷竭法。
祖冲之的球体积公式也是在刘徽工作基础上完成的，此结果在他撰写的政论文章《驳议》里提及，并极有可能写进失传的《缀术》。由于李淳风在为《九章算术》所写的一篇注文中称其为“祖暅之开立方术”，现代数学史家一般把球体积公式归功于祖氏父子。李淳风描述了祖氏如何计算牟合方盖，从而得到球体积公式V=4πr3/3。
除了数学，祖冲之在天文学方面也有出色的成就。经过实际观察，他发现何承天制定的为当时刘宋王朝采用的《元嘉历》有不少误差，便动手编制了新的历法《大明历》，这是那个时代最准确的历法。462年，33岁的祖冲之上表孝武帝刘骏，请求对新的历法展开讨论，并写下《驳议》呈送，内有他的名言：“愿闻显据，以核理实。”
由于种种阻碍，直到半个世纪以后，已过了刘宋王朝和萧齐王朝，终于在梁朝天监九年（510），在祖暅的努力下，《大明历》终于颁行，其时祖冲之已去世10年了。新历区分了回归年和恒星年，引入了“岁差”，把旧历中每19年闰7年改为每391年闰144年，使得一年的误差仅50秒。《大明历》一直沿用至陈朝，共80年。
祖冲之还制造过各种奇巧的机械，包括指南车和千里船等。他还通晓音律，堪称毕达哥拉斯式的博学多才的人物。另外，祖冲之还著有《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》等哲学著作和文学作品《述异记》，可惜与他的数学书一样均已失传。《南史》盛赞祖冲之，“解钟律、博塞，当时独绝，莫能对者”。
祖暅也十分博学多才。他曾撰《漏刻经》，讲述漏刻计时的历史演变。514年，他任材官将军，服务治淮工程。不料两年后，因新筑成的拦水坝被洪水冲坍，被判有罪，受过徒刑。525年，他在豫章（南昌）王萧综幕府，曾遭北魏拘执，后被放还南朝。《颜氏家训》称祖暅位至南康（赣州）太守，《南史》说他位至太府卿。
鉴于刘徽取得的卓越成就，公元1109年，皇帝中的艺术家宋徽宗封刘徽为淄乡男。由于被封的其他人均以故乡命名，且按《汉书》和地方志记载，含淄字的淄川、临淄和淄乡等全在山东，淄乡今属邹平市，故而认定刘徽是邹平人。与此同时，祖冲之也被封为地位稍高的范阳子，这可能得益于他的成果明白畅晓，为百姓喜闻乐见。2025年是刘徽诞辰1800周年，2024—2025年被联合国教科文组织定为“刘徽年”，他是第一个获此殊荣的中国人。